Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x^3 - 3(m + 2)x^2 + 3(m^2 + 4m)x + 1

Đáp án B.

Phương pháp: 

Hàm số y=fx nghịch biến trên khoảng a;b⇔f'x≤0,∀x∈a;b, bằng 0 tại hữu hạn điểm trên a;b. 

Cách giải:

y=x3−3m+2x2+3m2+4mx+1⇒y'=3x2−6m+2x+3m2+4m 

Hàm số

y=x3−3m+2x+3m2+4mx+1

nghịch biến trên khoảng 0;1 ⇔f'x≤0, ∀x∈0;1, bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1).

⇔3x2−6m+2x+3m2+4m≤0,  ∀x∈0;1,

bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0;1).

Xét phương trình

⇔3x2−6m+2x+3m2+4m=0  *

 Δ'=9m+22−3.3m2+4m=36>0,  ∀m⇒

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) thì x1≤0<1≤x2 

⇔x1x2≤01−x11−x2≤0⇔x1x2≤01+x1x2−x1+x2≤0⇔m2+4m≤01+m2+4m−2m−4≤0 

⇔−4≤m≤0−3≤m≤1⇔−3≤m≤0

Mà m∈Z⇒m∈−3;−2;−1;0⇒

Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.