Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số (m) để hàm số y = - 1/3x^3 + mx^2 + ( m^2 - 2)x + 2019 đạt cực đại tại x = 1? A. 1 B. 3 C. 0 D. 2

42/50

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số\(m\) để hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x + 2019\) đạt cực đại tại \(x = 1\)?

\(1\).

\(3\).

\(0\).

\(2\).

Giải thích

Lời giảiChọn ATa có \(y' = - {x^2} + 2mx + {m^2} - 2\) và \(y'' = - 2x + 2m\).Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) thì \(y'\left( 1 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - {1^2} + 2m.1 + {m^2} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 3}\\{m = 1}\end{array}} \right.\).Với \(m = - 3\)ta có \(y''\left( 1 \right) = - 2 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 3} \right) = - 8 < 0\)nên \(x = 1\) là điểm cực đại.Suy ra \(m = - 3\) thỏa mãn.Với \(m = 1\)ta có \(y' = - {x^2} + 2x - 1 = - {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\)\( \Rightarrow \) hàm số luôn nghịch biến, nên hàm số không có cực trị.Suy ra \(m = 1\) không thỏa mãn.Vậy \(m = - 3\) thì hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x + 2019\) tại \(x = 1\).