Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số sau đạt cực tiểu tại x=0 y=x^8+(m+1)x^5=(m^2-1)x^4+1

Đáp án C

Ta có  y'=8x7+5(m+1)x4−4(m2−1)x3; y''=56x6+20(m+1)x3−12(m2−1)x2

⇒y=0⇔8x7+5(m+1)x4−4(m2−1)x3=0⇔x3[8x4+5(m+1)x−4(m2−1)]=0 

TH1: Xét  m2−1=0⇔m=±1

·        Khi  m=1 ta có y'=0⇔x3(8x4+10x)=x4(8x3+10)⇒x=0  là nghiệm bội 4⇒x=0 không là cực trị của hàm số.

·        Khi m=−1  ta có y'=0⇔x3.8x4=0⇔8x7=0⇔x=0 là nghiệm bội lẻ ⇔x=0 là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa qua điểm  thì  đổi dấu từ âm sang dương nên x=0 là điểm cực tiểu của hàm số.

TH2: Xét  m2−1≠0⇔m≠±1 ta có:

 y=0⇔x2[8x5+5(m+1)x2−4(m2−1)x]=0⇔[x2=08x5+5(m+1)x2−4(m2−1)x=0

x2=0⇔x=0 là nghiệm bội chẵn không là cực trị của hàm số, do đó cực trị của hàm số ban đầu là nghiệm của phương trình   g(x)=8x5+5(m+1)x2−4(m2−1)x=0

Hàm số đạt cực tiểu  x=0⇔g'(0)>0

Ta có  g'(x)=40x4+10(m+1)x−4(m2−1)

 ⇒g'(0)=−4(m2−1)>0⇔m2−1<0⇔−1<m<1

Vậy kết hợp 2 trường hợp ta có −1≤m<1.  Do m∈Z⇒m∈{−1;0}