Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng

Đáp án: \(3\).

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {{m^2} + 2m} \right)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Để hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{y_{C{\rm{D}}}} \ge y\left( 0 \right)\end{array} \right.\)

Ta có

\({y_{CD}} = y\left( m \right) = {m^3} - 3\left( {m + 1} \right){m^2} + 3m\left( {{m^2} + 2m} \right) - 2025 = {m^3} + 3{m^2} - 2025\)

\(y\left( 0 \right) = - 2025\)

\({y_{CD}} \ge y\left( 0 \right)\)Û \({m^3} + 3{m^2} - 2025 \ge - 2025 \Leftrightarrow {m^3} + 3{m^2} \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 3\)

Þ \( - 3 \le m < 0\)

Vì \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn.