Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm.

Giải chi tiết:

Đặt:

                                                             \[t = \sqrt {1 - x} \quad (x < 1).\]

Khi đó:

                                                     \[t' = \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }} < 0,\]

nên \(t\) là hàm nghịch biến trên \(( - \infty ;1)\).

Với \(x \in ( - 3;0)\) ta có:

                                                                 \[t = \sqrt {1 - x} \in (1;2).\]

Bài toán trở thành: tìm các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số

                                                             \[f(t) = \frac{{t + 1}}{{t + m}}\]

nghịch biến trên \((1;2)\).

Ta có:

                                                    \[f'(t) = \frac{{m - 1}}{{{{(t + m)}^2}}}.\]

Để \(f(t)\) nghịch biến trên \((1;2)\) thì:

                                        \[f'(t) < 0 \Leftrightarrow m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1,\]

đồng thời mẫu số khác \(0\):

            \[t + m \ne 0\quad \forall t \in (1;2) \Leftrightarrow m \ne - t \Rightarrow m \le - 2\;{\rm{ho?c}}\;m \ge - 1.\]

Kết hợp điều kiện \(m < 1\), ta có vô số giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số \(m\). Chọn C.