Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=x+m.cawn x^2+1 có điểm cực trị và tất cả các điểm

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=ℝ.

Ta có y'=1+m.xx2+1.

Cho y'=0⇔m=−x2+1x, (x≠0).

Xét gx=−x2+1x⇒g'x=1x2.x2+1>0,∀x≠0 .

Ta có limx→+∞gx=−1; limx→−∞gx=1; limx→0+gx=−∞; limx→0−gx=+∞.

Bảng biến thiên:

Hàm số có cực trị khi m∈ℝ\−1;1.

Gọi Aa;b là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó m=−a2+1a và b=a−a2+1a=−1a⇒Aa;−1a.

Ta có: OA=a2+1a2≤823⇒19≤a2≤9.

Vậy m=a2+1a=1+1a2∈103;10.

Kết hợp với các điều kiện m∈ℤ, m∈ℝ\−1;1, ta được m∈−3;−2;2;3.

Chọn A.