Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình sau có nghiệm đúng

Ta có: \( - 9 < \frac{{3{x^2} + mx - 6}}{{{x^2} - x + 1}} < 6\quad \left( * \right)\)

Vì \({x^2} - x + 1 > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow  - 9\left( {{x^2} - x + 1} \right) < 3{x^2} + mx - 6 < 6\left( {{x^2} - x + 1} \right),\;\forall x \in \mathbb{R}\quad \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9\left( {{x^2} - x + 1} \right) < 3{x^2} + mx - 6\;\quad \\3{x^2} + mx - 6 < 6\left( {{x^2} - x + 1} \right)\end{array} \right.,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{x^2} + \left( {m - 9} \right)x + 3 > 0\;\quad \\3{x^2} - \left( {m + 6} \right)x + 12 > 0\end{array} \right.,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 9} \right)^2} - 144 < 0\\{\left( {m + 6} \right)^2} - 144 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < m < 21\\ - 18 < m < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 < m < 6\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) và \( - 3 < m < 6\) nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy có \(8\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa đề bài.