Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log 5 ( x^2 + 1 ) ≥ log 5 ( m x^2 + 4 x + m ) nghiệm đúng với mọi x ∈ R ?

\({\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) + 1 \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\)

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{x^2} + 4x + m > 0\\5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{x^2} + 4x + m\end{array} \right.,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

(dễ thấy \[m = 0\]không thỏa mãn hệ)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{\Delta _{\left( 1 \right)}} = 16 - 4{m^2} < 0\\5 - m > 0\\{\Delta _{\left( 2 \right)}} = 16 - 4{\left( {5 - m} \right)^2} \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 2 \vee m > 2\\m < 5\\m \le 3 \vee m \ge 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 2 < m \le 3\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 3\).

Vậy có 1 giá trị nguyên của \(m\).