Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log 2 x^2 - (2m + 5)log 2 x + m^2 + 5m + 4

Giải chi tiết:

Đặt \(t = {\log _2}x \in [1,2]\).

Bất phương trình trở thành:

                                         \[{t^2} - (2m + 5)t + {m^2} + 5m + 4 \le 0.\]

Giải phương trình bậc hai theo \(t\):

                                           \[{t^2} - (2m + 5)t + {m^2} + 5m + 4 = 0\]

   \[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = m + 4}\\{t = m + 1}\end{array}} \right.\]

Vì hệ số \(a = 1 > 0\) nên tam thức \( \le 0\) khi:

                                                           \[m + 1 \le t \le m + 4.\]

Để bất phương trình đúng với mọi \(t \in [1,2]\), ta cần:

                                                       \[m + 1 \le 1 < 2 \le m + 4.\]

                    \[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 \le 1}\\{2 \le m + 4}\end{array}} \right.\]

       \[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{m \ge - 2}\end{array}} \right.\]

                                                    \[ \Rightarrow - 2 \le m \le 0.\]

Vì \(m\) nguyên nên:

                                                           \[m \in \{ - 2, - 1,0\} .\]

Vậy có \(3\) giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần điền là: \(3.\)