Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn [0; 2025] sao cho ba số 5^(x+1) + 5^(1−x); a^2; 25^x + 25^(−x), theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng?

Giải chi tiết:

Ba số \({5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}\); \(\frac{a}{2}\); \({25^x} + {25^{ - x}}\), theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

\(a = \left( {{5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}} \right) + \left( {{{25}^x} + {{25}^{ - x}}} \right) \ge 2\sqrt {{5^{x + 1}} \cdot {5^{1 - x}}} + 2\sqrt {{{25}^x} \cdot {{25}^{ - x}}} = 12\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{x + 1}} = {5^{1 - x}}}\\{{{25}^x} = {{25}^{ - x}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 0\).

Như vậy nếu xét \(a \in \left[ {0;2025} \right]\) thì ta nhận \(a \in \left[ {12;2025} \right]\). Có \(2014\) số \(a\) thoả mãn đề bài.