Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn [0;2018) sao cho ba số (5^(x + 1)) + (5^(1 - x)); a/2; (25^x) + (25^(- x)), theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng?

Lời giải

Chọn D.

Ba số \({5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}\); \(\frac{a}{2}\); \({25^x} + {25^{ - x}}\), theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

\(a = \left( {{5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}} \right) + \left( {{{25}^x} + {{25}^{ - x}}} \right)\)\( \ge 2\sqrt {{5^{x + 1}} \cdot {5^{1 - x}}}  + 2\sqrt {{{25}^x} \cdot {{25}^{ - x}}} \)\( = 12\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{5^{x + 1}} = {5^{1 - x}}\\{25^x} = {25^{ - x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\).

Như vậy nếu xét \(a \in \left[ {0;2018} \right]\) thì ta nhận \(a \in \left[ {12;2018} \right]\). Có \(2007\) số \(a\) thoả đề.