Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong đoạn [-2017; 2017], để phương trình log(mx) = 2log(x + 1) có nghiệm duy nhất?

39/40

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$trong đoạn $\left[ { - 2017;2017} \right]$, để phương trình $\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)$ có nghiệm duy nhất?

$2017$.

$4014$.

$2018$.

$4015$.

Giải thích

Điều kiện $x > - 1$ và $x \ne 0$.

Ta có $\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)$$ \Leftrightarrow mx = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow m = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{x}$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{x}\left( {x > - 1;x \ne 0} \right)$.

Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\left( {KTM} \right)\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$.

${ - 8;9;27} \right) \Rightarrow a + b = 36\). Chọn A. (ảnh 1)$

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm duy nhất khi $m = 4$ hoặc $m < 0$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in \left[ { - 2017;2017} \right]$ nên có 2018 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu. Chọn C.