Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\), để đường thẳng \(d:y = mx + 1\)

Điều kiện \(x \ne 1\). Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\):

\[\frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}} = mx + 1 \Rightarrow \left( {mx + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = - 2x + 1 \Leftrightarrow m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 = 0\].

Đặt \[g\left( x \right) = m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2\]. \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.Điều này xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {3 - m} \right)^2} + 8m > 0\\m + 3 - m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} + 2m + 9 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 5;5} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;1;2;3;4;5} \right\}\). Vậy có \(10\) giá trị.

Đáp án:\(10\).