Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-5;5] để hàm số

46/235

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $y = |x^{3} - 6 x^{2} + (9 - m) x + 2 m - 2|$ có 5 điểm cực trị?

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Xét $f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2$

Hàm số $y = \left| {{x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2} \right|$ có 5 điểm cực trị khi $f\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Xét $f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2$

Ta có:

$f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2 = 0$

$ \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 9x - 2 - mx + 2m = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + 1 - m} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{x^2} - 4x + 1 - m = 0}\end{array}} \right.$.

Hàm số $y = \left| {{x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2} \right|$ có 5 điểm cực trị khi $f\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ${x^2} - 4x + 1 - m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} = 4 - \left( {1 - m} \right) > 0}\\{{2^2} - 4.2 + 1 - m \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > - 3}\\{m \ne 3}\end{array}} \right.} \right.$.

Do $m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 5;5} \right]$ nên $m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;4;5} \right\}$.

Vậy có 7 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.