Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [0;30] để bất phương trình x^2 - (m + 2)x + 8m + 1 =< 0 vô nghiệm?

Lời giải

Để bất phương trình vô nghiệm thì \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta  = {m^2} - 28m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\0 < m < 28\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \left[ {0;30} \right]\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1;2;3;...;27} \right\}\).

Vậy có 27 giá trị nguyên của \(m\) để bất phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm.

Trả lời: 27.