Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng 11x + y + 2 = 0?              

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số đã cho.

Lời giải

Hoành độ của tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số là

\({x_I} = \frac{{ - b}}{{3a}} = \frac{{ - 6\left( {m + 2} \right)}}{{3.1}} = - 2\left( {m + 2} \right) = - 2m - 4\).

Khi đó, tung độ tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số là:

\({y_I} = x_I^3 + 6\left( {m + 2} \right)x_I^2 - \left( {3m + 9} \right){x_I} - 8\)

\({y_I} = {( - 2\left( {m + 2} \right))^3} + 6\left( {m + 2} \right){\left( { - 2\left( {m + 2} \right)} \right)^2} - \left( {3m + 9} \right)\left( { - 2\left( {m + 2} \right)} \right) - 8\)

\({y_I} = 16{(m + 2)^3} + \left( {6m + 18} \right)\left( {m + 2} \right) - 8\)

\( \Rightarrow I\left( { - 2\left( {m + 2} \right);16{{(m + 2)}^3} + \left( {6m + 18} \right)\left( {m + 2} \right)} \right) - 8\)

Để \(I\) nằm trên đường thẳng \(11x + y + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow 11.\left( { - 2\left( {m + 2} \right)} \right) + 16{(m + 2)^3} + \left( {6m + 18} \right)\left( {m + 2} \right) - 8 + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow 16{(m + 2)^3} + \left( {6m - 4} \right)\left( {m + 2} \right) - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow 16{(m + 2)^3} + 6{(m + 2)^2} - 16\left( {m + 2} \right) - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {16\left( {m + 2} \right) + 6} \right)\left[ {{{(m + 2)}^2} - 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 3}\\{m = \frac{{ - 19}}{8}}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\)

Như vậy có 2 giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng \(11x + y + 2 = 0\).