Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình √ x 2 + 2 x − m = 2 x − 1 có 2 nghiệm thực phân biệt.

Lời giải

Ta có \(\sqrt {{x^2} + 2x - m} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 1 \ge 0}\\{{x^2} + 2x - m = {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{1}{2}}\\{3{x^2} - 6x + 1 = - m\,\,(*)}\end{array}} \right.} \right.\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{2}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 1\) trên \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \( - 2 < - m \le - \frac{5}{4}\) \( \Leftrightarrow \frac{5}{4} \le m < 2\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\), nên không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án: 0.