Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

Ta có: 2sin2x+3cos2x=m.3sin2x⇔2sin2x+31−sin2x=m.3sin2x.

Đặt t=sin2x,t∈0;1. Phương trình đã cho trở thành:2t+31−t=m.3t⇔23t+31−2t=m .

Xét hàm số ft=23t+31−2t, với t∈0;1. Ta cóf't=23t.ln23−2.31−2t.ln3

f''t=23'.ln232+4.31−2t.ln32>0,∀t∈0;1

 

 

 f'(t) liên tục và đồng biến trên [0;1] nên f't≤f'1=23ln29<0,∀t∈0;1.

f(t) liên tục và nghịch biến trên f1≤ft≤f0,∀t∈0;1 nên .

Suy ra 1≤m≤4 thì phương trình có nghiệm.