Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x^8 + (m - 2)x^5 - (m^2 - 4)x^4 + 1 đạt cực tiểu tại x=0?

Giải chi tiết:

Ta có:

  \[y' = 8{x^7} + 5(m - 2){x^4} - 4({m^2} - 4){x^3}\]

  \[ = {x^3}[8{x^4} + 5(m - 2)x - 4({m^2} - 4)]\]

Xét các trường hợp:

Trường hợp 1: \({m^2} - 4 = 0 \Rightarrow m =  \pm 2\)

- Với m=2: \(y' = 8{x^7} \Rightarrow x = 0\) là điểm cực tiểu.

- Với m=-2: \(y' = {x^4}(8{x^4} - 20) \Rightarrow x = 0\) không là cực tiểu.

Trường hợp 2: \({m^2} - 4 \ne 0\)

Xét đạo hàm cấp hai của biểu thức trong ngoặc:

  \[g''(0) =  - 4({m^2} - 4)\]

Để x=0 là điểm cực tiểu:

  \[g''(0) > 0 \Rightarrow {m^2} - 4 < 0 \Rightarrow  - 2 < m < 2\]

Suy ra:

  \[m \in \{  - 1,0,1\} \]

Tổng hợp lại:

  \[m \in \{  - 1,0,1,2\} \]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Điểm cực tiểu tại \(x = 0\; \Leftrightarrow \;y'\left( 0 \right) = 0\;\)và \(y''\left( 0 \right) > 0\).

·        Xét đạo hàm cấp 1 và cấp 2 theo tham số m, tìm số giá trị nguyên thỏa mãn.