Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = (m x + 4)/ (x + m) nghịch biến trên khoảng ( − 1 ; 1 ) ?

Phương pháp giải

Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) nghịch biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y' < 0}\\{ - \frac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)}\end{array}} \right.\)

Tìm m để hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đồng biến, nghịch biến trên một khoảng

Lời giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\).

Ta có \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{(x + m)}^2}}}\).

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y' < 0}\\{ - m \notin \left( { - 1;1} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 4 < 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m \le  - 1}\\{ - m \ge 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 < m < 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 1}\\{m \le  - 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le m < 2}\\{ - 2 < m \le  - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).

Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m =  \pm 1\)

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Chọn B