Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [ − 20 ; 20 ] để bất phương trình (x^2 + 3x + 3)/( x + 1) ≥ m có nghiệm x ∈ [ 0 ; 1 ] (nhập đáp án vào ô trống)?

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {0;1} \right]\).

Bất phương trình \(\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}} \ge m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;1} \right]\) khi và chỉ khi .

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) nên \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\). Do đó

\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{7}{2} = 3,5\).

Suy ra \(m \le \frac{7}{2}\). Mà \(m\) là số nguyên thuộc \(\left[ { - 20;20} \right]\). Vậy có 24 giá trị \(m\) thỏa đề bài.

Đáp án cần nhập là: \(24\).