Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình có nghiệm nguyên dương

Đáp án B

\({a^{x + 1}} - 2{a^x} = 24 \Leftrightarrow {a^{x + 1}} - 2.{a^x} - 24 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right).{a^x} = 24 \Leftrightarrow {a^x} = \frac{{24}}{{a - 2}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {\frac{{24}}{{a - 2}}} \right)}\\{a > 2}\end{array}} \right.\)

Mà a là số nguyên nên để tồn tại nghiệm nguyên dương thì

\(24 \vdots a - 2 \Rightarrow a - 2 \in \left\{ {1;2;3;4;6;12;24} \right\}\)

\(a \in \left\{ {3;4;5;6;8;10;14;26} \right\}\)

Ta có các trường hợp sau:

\(a = 3 \Rightarrow x = {\log _3}24\left( {x \notin \mathbb{Z}} \right)\)

\(a = 4 \Rightarrow x = {\log _4}12\left( {x \notin \mathbb{Z}} \right)\)

\(a = 5 \Rightarrow x = {\log _5}8\left( {x \notin \mathbb{Z}} \right)\)

\(a = 6 \Rightarrow x = {\log _6}6 = 1\)(t/m)

\(a = 8 \Rightarrow x = {\log _8}4\left( {x \notin \mathbb{Z}} \right)\)

\(a = 10 \Rightarrow x = {\log _{10}}3\left( {x \notin \mathbb{Z}} \right)\)

\[a = 14 \Rightarrow x = {\log _{14}}2\left( {x \notin \mathbb{Z}} \right)\]

\(a = 26 \Rightarrow x = {\log _{26}}1 = 0\) (t/m)