Có bao nhiêu giá trị nguyên a thuộc [1; 20] sao cho bất phương trình

Trường hợp a = 1: bất phương trình đã cho trở thành

2x+1x+7≥9x+1x⇔x+1x−2≤0⇔x−122≤0⇔x=1 (do x > 0)

⇒a=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp a = 2: bất phương trình đã cho trở thành

2x2+1x2+7≥9x+1x⇔2x+1x2−9x+1x+10≥0⇔x+1x≥52x+1x≤2

 

⇔2x2−5x+2≥0x2−2x+1≤0⇔x≥20<x≤12x=1(do x > 0).

⇒a=2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp a≥3:

Xét hàm số fa=2xa+1xa+7=2xa+x−a+7 với x là tham số dương.

Ta có: f'a=2xa.lnx−x−a.lnx=2xa−1xalnx.

+) Nếu 0 < x < 1 thì xa≤x3<1<1xa và lnx<0⇒f'a>0,∀a≥3.

+) Nếu x = 1 thì f'(a) = 0

+) Nếu x > 1 thì xa≥x3>1>1xa và lnx>0⇒f'a>0,∀a≥3.

Từ đó suy ra f'a≥0,∀a≥3, tức là hàm số f(a) đồng biến trên nửa khoảng 3;+∞.

⇒fa≥f3⇔2xa+1xa+7≥2x3+1x3+7=2x+1x3−6x+1x+14.

Đặt t=x+1x (điều kiện: t≥2, do x+1x≥2x.1x=2), ta được:

2xa+1xa+7≥2t3−6t+14=t−22t2+4t−7+9t≥9t,∀t≥2

⇒2xa+1xa+7≥9x+1x,∀x>0.

 

Suy ra với a≥3 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x∈0;+∞.

Mặt khác, do a nguyên và a∈1;20 nên a∈3;...;20.

Vậy có 18 giá trị nguyên của a thỏa mãn.

Chọn B.