Có bao nhiêu giá trị của y thỏa mãn bất phương trình?

Đáp án C

Ta có: \(3\left( {{9^y} + 2y} \right) + 2 \le x + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}{(x + 1)^3} \Rightarrow {3.9^y} + 6y + 2 \le x + 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 1} \right)\)

\( \Rightarrow {3^{2y + 1}} + 3\left( {2y + 1} \right) \le \left( {x + 1} \right) + 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 1} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 3t\) có \(f'\left( t \right) = {3^t}{\rm{ln}}3 + 3 > 0,\forall t\).

Suy ra hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 3t\) đồng biến trên \(R\).

Do đó: \(f\left( {2y + 1} \right) \le f\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 1} \right)} \right) \Rightarrow 2y + 1 \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 1} \right) \Rightarrow {3^{2y + 1}} - 1 \le x\)

Vì \(x \le 2022\) nên \({3^{2y + 1}} - 1 \le 2022 \Rightarrow y \le \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}2023 - 1}}{2} \approx 2,96\).

Với giả thiết \(y\) nguyên dương suy ra \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị của y thỏa mãn điều kiện bài toán.