Có bao nhiêu giá trị của x để A = x/(x + 3) - 2x/(3 - x) + (3x^2 + 9)/(9 - x^2):3/(x - 3) nguyên?

Đáp án úng là: A

ĐKXĐ: x ≠ 3 và x ≠ −3.

\(A = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{{2x}}{{3 - x}} + \frac{{3{x^2} + 9}}{{9 - {x^2}}}} \right):\frac{3}{{x - 3}} = \left[ {\frac{x}{{x + 3}} + \frac{{2x}}{{x - 3}} - \frac{{3{x^2} + 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x - 3}}{3}\)

\( = \frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{3} = \frac{{x - 3}}{{x + 3}} = 1 - \frac{6}{{x + 3}}\)

Để A nhận giá trị nguyên thì

(x + 3) ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6; −1; −2; −3; −6}

Suy ra x ∈ {−2; −1; 0; 3; −4; −5; −6; −9}.

Mà x ≠ 3 và x ≠ −3 nên x ∈ {−2; −1; 0; −4; −5; −6; −9}.

Do đó, có 7 giá trị x thỏa mãn.