Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = (x - m^2 - 2)/(x - m) trên đoạn [0; 4] bằng - 1?

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne m.\)

Hàm số đã cho xác định trên \(\left[ {0;4} \right]\) khi \(m \notin [0;4]{\rm{ (*)}}{\rm{.}}\)

Ta có \(y' = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{(x - m)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}}}{{{{(x - m)}^2}}} > 0\) với \(\forall x \in [0;4].\)

Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) nên \({\max _{[0;4]}}y = y(4) = \frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}}.\)

\({\max _{[0;4]}}y = - 1 \Leftrightarrow \frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1 \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 3\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện \(\left( * \right)\) ta được \(m = - 3.\)  Do đó có một giá trị của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.