Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = (x - m^2 - 2)/(x - m) trên đoạn [0;4] bằng - 1?

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm và tìm giá trị lớn nhất theo tham số \(m\).

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(x \ne m\).

Hàm số xác định trên [0;4] khi \(m \notin [0;4]\). \((*)\)

Ta có:

          \[y' = \frac{{(x - m) - (x - {m^2} - 2)}}{{{{(x - m)}^2}}} = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{(x - m)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}}}{{{{(x - m)}^2}}} > 0,\;\forall x \in [0;4].\]

Suy ra hàm số đồng biến trên [0;4], do đó:

                              \[{\max _{[0;4]}}y = y(4) = \frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}}.\]

Theo giả thiết:

\[\frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1 \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2,}\\{m = - 3.}\end{array}} \right.\]

Kết hợp với điều kiện \((*)\) suy ra \(m = - 3\).

Vậy có đúng một giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.