Có bao nhiêu giá tị nguyên của a để hàm số f(x) đồng biến trên ℝ?

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có f(x) = 2x³ + ax² + bx + c

Suy ra f'(x) = 6x² + 2ax + b

f(0) = 2f'(0), do đó c = 2b

f(x) ≥ 2f'(x) với mọi x ≥ ‒1 nên

2x³ + ax² + bx + c ≥ 2(6x² + 2ax + b) với mọi x ≥ ‒1

2x³ + (a ‒ 12)x² + (b ‒ 4a)x ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

x[2x² + (a ‒ 12)x + b ‒ 4a) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

Suy ra 2x² + (a ‒12)x + b ‒ 4a = 0 có một nghiệm x = 0

Suy ra b ‒ 4a = 0 hay b = 4a

Khi đó:

x[2x² + (a ‒ 12)x + b ‒ 4a) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

x²(2x + a ‒ 12) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

2x + a ‒ 12 ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

a ≥ 12 ‒ 2x với mọi x ≥ ‒1

a ≥ max(12 ‒ 2x) với mọi x ≥ ‒1

a ≥ 14

Để hàm số f(x) đồng biến trên ℝ thì f'(x) = 6x² + 2ax + b ≥ 0 với mọi x.

Suy ra ∆' ≤ 0

a² ‒ 6b ≤ 0

a² ‒ 24a ≤ 0

0 ≤ a ≤ 24.

Kết hợp a ≥ 14, suy ra 14 ≤ a ≤ 24.

Suy ra a ∈ {14; 15;...; 24}.

Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của a thỏa mãn.