Có bao nhiêu đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1: 3x - y + 3 = 0, d2: x - 3y + 9 = 0.

Đáp án đúng là: \(2.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(I(a;b)\) là tâm của đường tròn cần tìm.

Vì tâm \(I(a;b)\) nằm trên đường thẳng \(x = 5\) nên \(a = 5 \Rightarrow \) Điểm \(I(5;b)\)

Vì đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1}:3x - y + 3 = 0,\,\,{d_2}:x - 3y + 9 = 0\) nên ta có:

\(d(I;{d_1}) = d(I;{d_2}) = R\)

\( \Leftrightarrow \frac{{|15 - b + 3|}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{|5 - 3b + 9|}}{{\sqrt {10} }}\)

\( \Leftrightarrow |15 - b + 3| = |5 - 3b + 9|\)

\( \Leftrightarrow |18 - b| = |14 - 3b|\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{18 - b = 14 - 3b}\\{18 - b = - 14 + 3b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2b = - 4}\\{ - 4b = - 32}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = - 2}\\{b = 8}\end{array}} \right.\)

+) Với \(b = - 2\) ta có \(I(5; - 2)\) và \(R = \frac{{|15 + 2 + 3|}}{{\sqrt {10} }} = 2\sqrt {10} .\)

\( \Rightarrow (C):{(x - 5)^2} + {(y + 2)^2} = 40\)

+) Với \(b = 8\) ta có \(I(5;8)\) và \(R = \frac{{|15 - 8 + 3|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} .\)

\( \Rightarrow (C):{(x - 5)^2} + {(y - 8)^2} = 10\)

Vậy có \(2\) đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án cần điền là: \(2.\)