Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: (x^2 + y^2 + 7x)/x > log2((x^2+y^2)/x) + ((x^2 + y^2)/x)^log2(3)

Đáp án đúng là: C

x2+y2+7xx>log2x2+y2x+x2+y2xlog23 1.

Điều kiện x2+y2x>0⇔x>0, mà x∈ℤ⇒x≥1

Đặt t=x2+y2x⇒t≥1.

Khi đó, 1⇔t+7>log2t+tlog23⇔t+7−log2t−tlog23>0.

Xét hàm số ft=t+7−log2t−tlog23 với t≥1.

⇒f't=1−1tln2−log23.tlog232<0,∀t≥1

Nên ft nghịch biến trên 1;+∞.

Mặt khác f4=0 nên t = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình f(t) = 0.

Khi đó ft>0⇔0<t<4⇔x2+y2x<4⇔x2+y2<4x⇔x−22+y2<4

Để tồn tại số thực y thì x∈1;2;3 nên ta có tất cả 9 cặp số nguyên (x;y).