Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x ; y ) thoả mãn log 2 ( 2 x + 2 y ) = log 2 ( x ^ 2 + y ^ 2 ) ?

Đáp số: 3.

\({\log _2}(2x + 2y) = {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} > 0\\{x^2} + {y^2} - 2x - 2y = 0\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} > 0\\{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = 2\end{array}\end{array}} \right.\]

Số 2 chỉ có những cách phân tích thành tổng bình phương của hai số nguyên nhu sau \(2 = {1^2} + {1^2} = {( - 1)^2} + {( - 1)^2} = {1^2} + {( - 1)^2}\)

Ta có 4 trường hợp: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 1}\\{y - 1 = 1}\end{array};\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = - 1}\\{y - 1 = 1}\end{array};\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 1}\\{y - 1 = - 1}\end{array};\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = - 1}\\{y - 1 = - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array};\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 2}\end{array};\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array};\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\). Cặp số \((x;y) = (0;0)\) bị loại.