Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn điều kiện 0 bé hơn bằng x bé hơn bằng 100

Phương pháp giải

Đặt \(t = {x^2}\) để biến đổi phương trình về đa thức theo t.

Phân tích đa thức thành nhân tử (theo t).

Giải\({x^2} - y = 0\), đếm các nghiệm nguyên thỏa mãn\(0 \le y \le 100\).

Giải chi tiết

Ta biến đổi đa thức theo\({x^2}\). Đặt\(t = {x^2}\). Ta có

\({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} - 19{y^3} + 3{x^2} - 3y = ({x^2} - y)({x^4} + 7{x^2}y + 19{y^2} + 3).\)

Với \(0 \le y \le 100\) và y nguyên:

- Nếu \({x^2} - y = 0\,\)thì\(y = {x^2}\). Vì \(0 \le y \le 100\)nên \({x^2} \in \{ 0,1,4,9, \ldots ,100\} \Rightarrow x \in \{ 0, \pm 1, \pm 2, \ldots , \pm 10\} .\)

Các cặp thỏa điều kiện là \((0,0)\)và \(( \pm k,{k^2})\)với \(k = 1,2, \ldots ,10\).

- Có \({x^4} + 7{x^2}y + 19{y^2} + 3\) luôn dương khi \(y \ge 0\)nên không thể bằng 0.

Vậy chỉ có các cặp từ trường hợp (1).

Có\(1 + 2 \cdot 10 = 21\).