Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn 0<=x<=2000 và log3(3x+3)+x=2y+9^y ?

Đáp án D

+ Ta có: log33x+3+x=2y+9y ⇔1+ log3x+1 +x=2y+9y  1 .

+ Đặt t=log3x+1. Suy ra: x+1=3t⇔x=3t−1.

Khi đó:1⇔t+3t=2y+32y 2 .

Xét hàm số: fh=h+3h, ta có:f'h=1+3h.ln3 >0 ∀h∈ℝ  nên hàm số fh đồng biến trên R.

Do đó: 2⇔ft=f2y⇔t=2y⇔log3x+1=2y⇔x+1=32y⇔x+1=9y.

+ Do 0≤x≤2020 nên 1≤x+1≤2021⇔1≤9y≤2021⇔0≤y≤log92021≈3,46.

Do y∈ℤ nên y∈0; 1; 2; 3 , với mỗi giá trị y cho ta 1 giá trị x thoả đề.

Vậy có 4 cặp số nguyên x ; y thoả đề.