Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn

Đáp án đúng là: B

Điều kiện x2+y2+7x+14y≠0x2+y2+30x+60y>0x+2y>0⇔x+2y>0.

log3x2+y2+7x+14y2+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y

⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y

⇔2log3x2+y2+7x+14y−2log3x+2y≤log2x2+y2+30x+60y−log2x2+y2

⇔2log3x2+y2+7x+14yx+2y≤log2x2+y2+30x+60yx2+y2

⇔2log3x2+y2x+2y+7≤log21+30x+2yx2+y2.

⇔2log3x2+y2x+2y+7−log21+30x+2yx2+y2≤0

Đặt t=x2+y2x+2y với t>0.

Khi đó, bất phương trình tương đương 2log3t+7−log21+30t≤0

Xét hàm số ft=2log3t+7−log21+30t.

Ta có f't=2t+7ln3+30t21+30tln2>0,∀t>0.

Nên f(t) đồng biến trên 0;+∞.

Mặt khác ft=0⇔t=2 nên 2log3t+7−log21+30t≤0⇔t≤2

⇔x2+y2x+2y≤2⇔x2+y2≤2x+4y⇔x−12+y−22≤5.

Mà x+2y>0 nên x−12+y−22≤5.

Vậy có tất cả 20 cặp (x,y) thỏa mãn.