Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn log 2 của y <=log 2 của (24 - x).
Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\x < 24\end{array} \right.\).
Đặt \(f\left( x \right) = {\log _2}x\). Khi đó \({\log _2}y = f\left( y \right),{\log _2}\left( {24 - x} \right) = f\left( {24 - x} \right)\).
Do cơ số 2 > 1 nên hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Suy ra \(f\left( y \right) \le f\left( {24 - x} \right) \Leftrightarrow y \le 24 - x\).
Theo giả thiết thì \(y > 0,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \ge 1 \Rightarrow 24 - x \ge 1 \Rightarrow x \le 23\).
Kết hợp \(x > 0,x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;...;22;23} \right\}\).
Ta có bảng sau:
\(x\) | 1 | 2 | 3 | … | 21 | 22 | 23 |
\(1 \le y \le 24 - x\) | \(1 \le y \le 23\) | \(1 \le y \le 22\) | \(1 \le y \le 21\) | … | \(1 \le y \le 2\) | \(1 \le y \le 2\) | \(1 \le y \le 1\) |
Số cặp \(\left( {x;y} \right)\) | 23 | 22 | 21 | … | 3 | 2 | 1 |
Như vậy có \(1 + 2 + 3 + ... + 22 + 23 = \frac{{23 \cdot 24}}{2} = 276\) cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trả lời: 276.