Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m,n) sao cho m+n<=12 và ứng với mỗi cặp (m,n) tồn tại đúng 3 số thực 3 thỏa mãn a thuộc (-1,1) ?

Chọn D

Ta có 2am=nln(a+a2+1)⇔2nam=ln(a+a2+1) (*).

Xét hàm f(a)=ln(a+a2+1) trên (−1,1) (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến trên R), có BBT:

Xét hàm g(a)=2n.am trên (−1,1) .

Với m chẵn, g(a)  là hàm chẵn và g(a)≥0,∀a∈R, do đó (*) không thể có 3 nghiệm.

Với m lẻ, g(a) là hàm lẻ, đồng biến trên  và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm a=0 là đường thẳng y=0.

Dễ thấy (*) có nghiệm a=0∈(−1;1). Để (*) có đúng 3 nghiệm tức là còn có 2 nghiệm nữa là ±a0 với 0<a0<1.

Muốn vậy, thì g(1)=2n.1m=2n>f(1)=ln(1+2)⇔n<2ln(1+2)≈2,26⇒n=1;n=2

Cụ thể:

+ m∈3;5;7;9 thì n∈1;2: Có 8 cặp (m,n)

+ m=11 thì : n∈1 Có  cặp (m,n)

+ m=1: Đồ thị hàm số g(a) là đường thẳng (g(a)=a;g(a)=2a) không thể cắt đồ thị hàm số f(a) tại giao điểm a0≠0 được vì tiếp tuyến của hàm số f(a) tại điểm có hoành độ a=0 là đường thẳng y=a.

Vậy có cả thảy 9 cặp y=a