Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m,n)  sao cho M+n<=10 và ứng với mỗi cặp (m,n)  tồn tại đúng 3 số thực

Chọn D

Ta có 2am=nlna+a2+1⇔2amn=lna+a2+1.

Xét hai hàm số fx=lnx+x2+1 và gx=2nxm trên −1;1.

Ta có f'x=1x2+1>0 nên fx luôn đồng biến và  

f−x=ln−x+x2+1=ln1x+x2+1=−lnx+x2+1=−fxnên fx là hàm số lẻ.

+ Nếu m chẵn thì gx là hàm số chẵn và có bảng biến thiên dạng

Suy ra phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm, do đó m lẻ.

+ Nếu m lẻ thì hàm số gx là hàm số lẻ và luôn đồng biến.

Ta thấy phương trình luôn có nghiệm x=0. Dựa vào tính chất đối xứng của đồ thị hàm số lẻ, suy ra phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên −1;1 khi có 1 nghiệm trên (0,1), hay f1>g1⇔ln1+2<2n⇔n<2ln1+2≈2,26⇒n∈1;2.

Đối chiếu điều kiện, với n=1 suy ra , có m∈1;3;5;7;9 cặp số thỏa mãn

Với  n=2 thì m∈1;3;5;7 có 4  cặp số thỏa mãn.

Vậy có 9 cặp số thỏa mãn bài toán.