Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tìm tổng hoành độ của các đỉnh A,B,C của tam giác ABC. (ảnh 1)

Ta có:

\(\left( 1 \right)\)\(\widehat {BCM} = \widehat {BAM}\)

\(\widehat {BAM} = \widehat {MAT} = \widehat {DAC}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {BCM}\), mà \(\widehat {BCM} = \widehat {CDA} + \widehat {AMC},\,\,\widehat {DAC} = \widehat {ACM} + \widehat {AMC}\) từ đó suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {ACM}\), do đó\(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) có tâm \(J\) nên \(JC \bot MC\). Hay \(C\) là hình chiếu của \(J\) lên đường thẳng \(CM\).

Đường thẳng qua \(J\) và vuông góc với \(CM\) có phương trình:

\(\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\)

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x - y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 1;\,\,3} \right)\).

\(AC\) là đường thẳng qua \(C\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {IJ} \left( { - 4;\,\,0} \right)\) nên có phương trình: \( - 4\left( {x + 1} \right) + 0\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0\).

Do đó tọa độ điểm \(A\) có dạng \(A\left( { - 1;\,\,a} \right)\). Ta có

\(I{A^2} = I{C^2} \Leftrightarrow 9 + {\left( {a - 2} \right)^2} = 9 + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right.\).

Vì \(A \ne C\) nên \(A\left( { - 1;\,\,1} \right)\).

Tọa độ điểm \(M\) có dạng \(M\left( {m;\,\,2 - m} \right)\). Ta có

\(I{M^2} = I{C^2} \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + {m^2} = 10 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 3\end{array} \right.\).

Vì \(M \ne C\) nên \(M\left( {3;\,\, - 1} \right)\).

\(BC\) là đường thẳng qua \(C\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {MI} \left( { - 1;\,\,3} \right)\) nên có phương trình:

\( - \left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 10 = 0\).

Tọa độ điểm \(B\) có dạng \(B\left( {3b - 10;\,\,b} \right)\). Ta có

\(I{B^2} = I{C^2} \Leftrightarrow {\left( {3b - 12} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 3\\b = \frac{{23}}{5}\end{array} \right.\).

Vì \(B \ne C\) nên \(B\left( {\frac{{19}}{5};\,\,\frac{{23}}{5}} \right)\).

Vậy tổng hoành độ của các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\) là \( - 1 - 1 + \frac{{19}}{5} = \frac{9}{5}\).

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?