Có bao nhiêu cách chọn sáu số từ chín số nguyên 1 , 2 , …, 9 và điền vào các ô của hình dưới đây (mỗi ô chỉ điền đúng một số) sao cho tổng các số ở mỗi cột (kể cả cột có một ô) bằng nhau?

Đáp án: 48

Gọi tổng các số ở mỗi cột là \[k\].

Vì cột \[1\] chỉ chứa \[1\] số nên \[k \le 9\].

Vì cột \[3\] chứa \[3\] số nguyên dương phân biệt, tổng nhỏ nhất của chúng là \[1 + 2 + 3 = 6\] nên \[k \ge 6\]

Ta xét các trường hợp của \[k\].

+) Trường hợp 1: \[k = 6\].

Cột \[1\] chứa số \[6\].

Cột \[3\] chứa các số \[1\], \[2\]¸\[3\].

Cột \[2\] có \[2\] khả năng là \[\left\{ {1;5} \right\}\] hoặc \[\left\{ {2;4} \right\}\]. Ta thấy số \[1\] và \[2\] đều đã ở cột \[3\] nên loại.

+) Trường hợp \[2\]: \[k = 7\].

Cột \[1\] chứa số \[7\].

Cột \[3\] phải chứa các số \[\left\{ {1;2;4} \right\}\].

Cột \[2\] có \[3\] khả năng là \[\left\{ {1;6} \right\}\], \[\left\{ {2;5} \right\}\], \[\left\{ {3;4} \right\}\]. Ta thấy nó đều chứa số ở cột \[3\] nên loại.

+) Trường hợp \[3\]: \[k = 8\]

Cột \[1\] chứa số \[8\].

Cột \[3\] có \[2\] khả năng là \[\left\{ {1;3;4} \right\}\] hoặc \[\left\{ {1;2;5} \right\}\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;3;4} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {2;5;6;7;9} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {2;6} \right\}\] có tổng bằng \[8\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;2;5} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {3;4;6;7;9} \right\}\], không có hai số nào có tổng bằng \[8\].

Ta có được \[1\] bộ số thỏa mãn.

+) Trường hợp \[4\]: \[k = 9\].

Cột \[1\] chứa số \[9\].

Cột \[3\] có \[3\] khả năng là \[\left\{ {1;2;6} \right\}\], \[\left\{ {1;3;5} \right\}\], \[\left\{ {2;3;4} \right\}\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;2;6} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {3;4;5;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {4;5} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;3;5} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {2;4;6;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {2;7} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

- Nếu chọn \[\left\{ {2;3;4} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {1;5;6;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {1;8} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

Ta có được \[3\] bộ số thỏa mãn.

+) Với mỗi bộ số, sắp xếp vị trí các số trong mỗi cột.

Cột \[1\] có \[1!\] cách xếp.

Cột \[2\] có \[2!\] cách xếp.

Cột \[3\] có \[3!\] cách xếp.

+) Vậy ta có tổng cộng \[\left( {1 + 3} \right) \times 1! \times 2! \times 3! = 48\] cách điền số thỏa mãn ycbt.