Có bao nhiêu cách chọn ba số tự nhiên phân biệt nhỏ hơn 100 sao cho tổng của chúng là một số chia hết cho 3?

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xét các trường hợp của ba số được chọn.

Lời giải

Trong các số tự nhiên từ 0 đến 99, có 33 số chia 3 dư 1, 33 số chia 3 dư 2, và 34 số chia hết cho 3.

Khi đó, để tổng ba số tự nhiên được chọn chia hết cho 3, ta xét các trường hợp:

Ba số tự nhiên được chọn đều chia hết cho 3. Có \(C_{34}^3\) cách chọn ba số phân biệt trong 34 số tự nhiên chia hết cho 3.

Ba số tự nhiên được chọn đều chia cho 3 dư 1. Có \(C_{33}^3\) cách chọn ba số phân biệt trong 33 số tự nhiên chia cho 3 dư 1 .

Ba số tự nhiên được chọn đều chia cho 3 dư 2. Có \(C_{33}^3\) cách chọn ba số phân biệt trong 33 số tự nhiên chia cho 3 dư 2.

Ba số tự nhiên được chọn có một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1 và một số chia 3 dư 2. Có 34.33.33 cách chọn ba số tự nhiên cho trường hợp này.

Từ 4 trường hợp, ta suy ra số cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán là

\(C_{34}^3 + C_{33}^3 + C_{33}^3 + 34.33.33 = 53922\)