Có bao nhiêu bộ (x; y) với x, y nguyên và 1 nhỏ hơn bằng x, y nhỏ hơn bằng 2020 thỏa mãn xy + 2x + 4y + 8 log 3 2y/ y + 2 nhỏ hơn bằng 2x + 3y - xy - 6 lpg 2 2x + 1/x -3

Đáp án: 4034

Từ giả thiết kết hợp ĐKXĐ của bất phương trình ta có

1≤y≤2020;4≤x≤2020;x,y∈Z,(1).

Ta có (xy+2x+4y+8)log32yy+2≤(2x+3y−xy−6)log22x+1x−3

⇔(x+4)(y+2)log32yy+2+(x−3)(y−2)log22x+1x−3≤0 (*)

Xét f(x)=log22x+1x−3=log22+7x−3>0,∀x∈[4;2020]

Với y = 1 thay vào (*) ta được 3(x+4)log323−(x−3)log22x+1x−3≤0 (luôn đúng∀x∈[4;2020] do (1) và (2)). Suy ra có 2017 bộ (x;y) .

Với y = 2 thay vào (*) ta thấy luôn đúng ∀x∈[4;2020], suy ra có 2017 bộ (x;y).

Với 3≤y≤2020⇒y−2>0. Xét g(y)=log32yy+2=log3y+yy+2>log3y+2y+2=0,∀y≥3 (3).

Suy ra (*) vô nghiệm (do (2) và (3)). Vậy có 4034 bộ (x;y).