Có bao nhiêu bộ số tự nhiên (n,k) thỏa mãn Pn+5/(n-k)! < 60A

63/100

Có bao nhiêu bộ số tự nhiên \(\left( {n;k} \right)\) thỏa mãn \(\frac{{Pn + 5}}{{\left( {n - k} \right)!}} \le 60A_{n + 3}^{k + 2}\) ?

Giải thích

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n \ge k}\\{n,k \in \mathbb{N}}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(\frac{{Pn + 5}}{{\left( {n - k} \right)!}} \le 60A_{n + 3}^{k + 2} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 5} \right)!}}{{\left( {n - k} \right)!}} \le 60.\frac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{\left( {n - k + 1} \right)!}} \Leftrightarrow \left( {n + 5} \right)\left( {n + 4} \right)\left( {n - k + 1} \right) \le 60\) \(\left( {\rm{*}} \right)\)

Với \(n \ge 4\) thì \(\left( {n + 5} \right)\left( {n + 4} \right) \ge \left( {4 + 5} \right)\left( {4 + 4} \right) = 72\) nên từ \(\left( {\rm{*}} \right)\) suy ra \(n - k + 1 \le \frac{5}{6}\) (vô lí, do \(n \ge k\) ).

Với \(n = 3\) thì \(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow \left( {3 + 5} \right)\left( {3 + 4} \right)\left( {3 - k + 1} \right) \le 60 \Leftrightarrow 56\left( {4 - k} \right) \le 60 \Leftrightarrow k \ge \frac{{41}}{{14}} \Rightarrow k = 3\)

Với \(n = 2\) thì \(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow \left( {2 + 5} \right)\left( {2 + 4} \right)\left( {2 - k + 1} \right) \le 60 \Leftrightarrow 42\left( {3 - k} \right) \le 60 \Leftrightarrow k \ge \frac{{11}}{7} \Rightarrow k = 2\)

Với \(n = 1\) thì \(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow \left( {1 + 5} \right)\left( {1 + 4} \right)\left( {1 - k + 1} \right) \le 60 \Leftrightarrow 30\left( {2 - k} \right) \le 60 \Leftrightarrow k \ge 0 \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\)

Với \(n = 0\) thì \(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow \left( {0 + 5} \right)\left( {0 + 4} \right)\left( {0 - k + 1} \right) \le 60 \Leftrightarrow 20\left( {1 - k} \right) \le 60 \Leftrightarrow k \ge - 2 \Rightarrow k = 0\)

Vậy có 5 bộ số \(\left( {n;k} \right)\) thỏa mãn.