Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau.

Gọi số sản phẩm loại I cần sản xuất là\[x\]; số sản phẩm loại II cần sản xuất là\[y\]. Đk: \[x,y \ge 0\].

Số máy nhóm A cần sử dụng là: \[2x + 2y\].

Số máy nhóm B cần sử dụng là: \[2y\].

Số máy nhóm C cần sử dụng là: \[2x + 4y\].

Ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + 2y \le 10\\2y \le 4\\x + 2y \le 6\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 2\\x + y \le 5\\x + 2y \le 6\end{array} \right.\].

Vẽ các đường thẳng \[\left( {{d_1}} \right):y = 2,\;\,\left( {{d_2}} \right):\,x + y = 5,\,\,\left( {{d_3}} \right):x + 2y = 6\]. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần tô màu như hình vẽ :

Ta thấy:

           \[\left( {{d_1}} \right) \cap Oy = A\left( {0;2} \right)\], \[\left( {{d_1}} \right) \cap \left( {{d_3}} \right) = B\left( {2;2} \right)\], \[\left( {{d_2}} \right) \cap \left( {{d_3}} \right) = C\left( {4;1} \right)\]

                               \[\,\,\left( {{d_2}} \right) \cap Ox = D\left( {5;0} \right)\], \[E \equiv O = \left( {0;0} \right)\]

Lãi suất thu được là :\[f\left( {x;y} \right) = 3x + 5y\]( nghìn đồng).

Do đó \[f\left( {x;y} \right)\] đạt giá trị lớn nhất tại \[C\left( {4;1} \right)\].

Vậy sản xuất 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II sẽ cho lãi cao nhất.