Có 6 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh c

Lời giải

Xét phép thử: Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh của 3 lớp thành một hàng ngang, ta có: \[n\left( \Omega  \right) = 6!\].

Gọi D là biến cố: “nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của cả 3 lớp A, B, C”.

Ta thấy rằng để 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của cả 3 lớp A, B, C thì các học sinh của cùng 1 lớp phải được xếp vào các vị trí \[\left( {1\,;\,4} \right),\,\,\left( {2\,;\,5} \right),\,\,\left( {3\,;\,6} \right)\].

Xếp 2 học sinh lớp A vào vị trí (1; 4) có 2 cách, xếp 2 học sinh lớp B vào vị trí (2; 5) có 2 cách, xếp 2 học sinh lớp C vào vị trí (3; 6) có 2 cách và có 3! cách để hoán vị vị trí của các nhóm học sinh theo lớp.

Suy ra \[n\left( D \right) = 3! \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 48\].

Vậy xác suất cần tìm là: \[P\left( D \right) = \frac{{n\left( D \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{48}}{{720}} = \frac{1}{{15}}\]. Chọn D.