Có (1) _____ cặp số nguyên dương ( x ; y ) thỏa mãn x + 1 chia hết cho y và y + 1 chia hết cho x .

Đáp án

Có (1) ___5___  cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x + 1\) chia hết cho \(y\) và \(y + 1\) chia hết cho \(x\).

Giải thích

Từ điều kiện của bài toán ta suy ra được \(x + 1 \ge y,y + 1 \ge x\).

Từ đó ta có \(x - 1 \le y \le x + 1\), mặt khác \(x,y\) là các số nguyên dương nên suy ra \(y = x - 1\) hoặc \(y = x\) hoặc \(y = x + 1\). Ta xét các trường hợp sau:

- Nếu \(y = x - 1\), khi đó ta được \(\left( {x - 1} \right) \vdots y\) và \(\left( {x + 1} \right) \vdots y\)

Suy ra \(\left[ {\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] \vdots y\) hay \(2 \vdots y\) suy ra \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\).

+ Với \(y = 1\) ta được \(x = 2\).

+ Với \(y = 2\) ta được \(x = 3\).

- Nếu \(y = x\), khi đó ta được \(x \vdots y\) và \(\left( {x + 1} \right) \vdots y\).

Suy ra \(\left[ {\left( {x + 1} \right) - x} \right] \vdots y\) hay \(1 \vdots y\) suy ra \(y = 1\), từ đó ta được \(x = 1\).

- Nếu \(y = x + 1\), khi đó từ \(\left( {y + 1} \right) \vdots x\) ta được \(\left( {x + 2} \right) \vdots x\) suy ra \(2 \vdots x\) nên \(x \in \left\{ {1;2} \right\}\).

+ Với \(x = 1\) ta được \(y = 2\).

+ Với \(x = 2\) ta được \(y = 3\).

Vậy các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn ycbt là \(\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right),\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right)\).