Chứng tỏ rằng S M N C B = 5/ 6 S A B C
14/14
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho \(BM = \frac{1}{3}AB\). Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho \(AN = \frac{1}{4}AC\). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho E là điểm chính giữa cạnh BC.
a) Chứng tỏ rằng \({S_{MNCB}} = \frac{5}{6}{S_{ABC}}\)
b) Chứng tỏ rằng \({S_{AMN}} = {S_{EMB}}\)
c) Biết \({S_{ABC}} = 24c{m^2}\). Tính \({S_{EMN}}\)
a) Ta có \({S_{ABC}} = \frac{{AB \times AC}}{2}\) (1)
\(BM = \frac{1}{3}AB \Rightarrow AM = \frac{2}{3}AB\)
Ta có: \({S_{AMN}} = \frac{{AM \times AN}}{2} = \frac{1}{2} \times \left( {\frac{2}{3}AB} \right) \times \left( {\frac{1}{4}AC} \right) = \frac{1}{{12}} \times AB \times AC = \frac{1}{6} \times \frac{{AB \times AC}}{2}\) (2)
Từ (1), (2): \({S_{AMN}} = \frac{1}{6}{S_{ABC}}\) (3)
Vì \({S_{AMN}} + {S_{MNCB}} = {S_{ABC}}\) nên \({S_{MNCB}} = \frac{5}{6}{S_{ABC}}\)
b) Nối A với E. Vì E là điểm chính giữa BC nên \(BE = EC = \frac{1}{2}BC\).
Ta có: \({S_{EMB}} = \frac{1}{3}{S_{EAB}}\) (Vì có chung chiều cao hạ từ E và có đáy \(MB = \frac{1}{3}AB\))
\({S_{EAB}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\) (Vì có chung chiều cao hạ từ A và có đáy \(BE = \frac{1}{2}BC\))
Suy ra: \({S_{EMB}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{6}{S_{ABC}}\) (4)
Từ (3), (4): \({S_{AMN}} = {S_{EMB}}\)
c) Vì \(AN = \frac{1}{4}AC\) nên \(NC = \frac{3}{4}AC\)
Ta có:
\({S_{ENC}} = \frac{3}{4}{S_{AEC}}\) (Vì có chung chiều cao hạ từ E và có đáy \(NC = \frac{3}{4}AC\))
\({S_{AEC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\) (Vì có chung chiều cao hạ từ A và có đáy \(EC = \frac{1}{2}BC\))
Suy ra \({S_{ENC}} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{3}{8}{S_{ABC}}\) (5)
Ta có \({S_{EMN}} = {S_{ABC}} - {S_{AMN}} - {S_{EMB}} - {S_{ENC}}\)
Từ (3), (4) và (5) ta có \({S_{EMN}} = {S_{ABC}} - \frac{1}{6}{S_{ABC}} - \frac{1}{6}{S_{ABC}} - \frac{3}{8}{S_{ABC}}\)
\( = (1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} - \frac{3}{8}) \times {S_{ABC}} = \frac{7}{{24}}{S_{ABC}} = \frac{7}{{24}} \times 24 = 7(c{m^2})\)