Chứng minh (x^2 py^2)/xy

Lời giải:

Gọi ƯCLN(x, y) = d (d ∈ ℕ^*).

Khi đó tồn tại số tự nhiên a và b để x = da, y = db và (a, b) = 1.

Ta có: \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2}{a^2} + p{d^2}{b^2}}}{{{d^2}ab}} = \frac{{{a^2} + p{b^2}}}{{ab}} \in {\mathbb{N}^ * }\]

Từ đó ta được a² + pb² ⋮ ab, suy ra a² + pb² ⋮ b, suy ra a² ⋮ b.

Do (a, b) = 1 nên suy ra ta được b = 1. Suy ra a² + p ⋮ a, suy ra p ⋮ a.

Do p là số nguyên tố nên ta được a = 1 hoặc a = p.

⦁ Với a = 1, khi đó ta được x = y = d nên suy ra \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2} + p{d^2}}}{{{d^2}}} = p + 1\]

⦁ Với a = p, khi đó ta được a = dp; y = d nên suy ra \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2}{p^2} + p{d^2}}}{{{d^2}p}} = p + 1\]

Vậy ta luôn có: \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = p + 1\].