Ta có: x+1x-3=x-3+4x-3=1+4x-3

Để 1 + 4x-3 nhận giá trị nguyên thì 4x-3 phải có giá trị nguyên. Vì x nguyên nên √x là số nguyên hoặc số vô tỉ.

* Nếu x là số vô tỉ thì x - 3 là số vô tỉ nên 4x-3 không có giá trị nguyên. Trường hợp này không có giá trị nào của x để biểu thức nhận giá trị nguyên.

* Nếu x là số nguyên thì x - 3 là số nguyên. Vậy để Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 nguyên thì x - 3 phải là ước của 4.

Đồng thời x ≥ 0 suy ra: x ≥ 0

Ta có: W(4) = {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

Suy ra: x - 3 = -4 ⇒ x = -1 (loại)

x - 3 = -2 ⇒ x = 1 ⇒ x = 1

x - 3 = -1 ⇒ x = 2 ⇒ x = 4

x - 3 = 1 ⇒ x = 4 ⇒ x = 16

x - 3 = 2 ⇒ x = 5 ⇒ x = 25

x - 3 = 4 ⇒ x = 7 ⇒ x = 49

Vậy với x ∈ {1; 4; 16; 25; 49} thì biểu thức x+1x-3 nhận giá trị nguyên.

Chứng minh: x - 4 căn(x - 4) = (căn(x - 4) - 2)^2