Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD, phân giác của cắt BD ở E. a) Chứng minh: Tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD. b) Chứng minh AH.ED = HB.EB. c) Tính diện tích tứ giác AECH. (ảnh 1)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD, phân giác của cắt BD ở E. a) Chứng minh: Tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD. b) Chứng minh AH.ED = HB.EB. c) Tính diện tích tứ giác AECH. (ảnh 2)

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD.

Suy ra B^1=D^1 (hai góc so le trong).

Xét DAHB và DBCD có:

BCD^=AHB^=90o

B^1=D^1 (chứng minh trên)

Do đó ∆AHB ∆BCD (g.g).

b) Từ câu a: ∆AHB∆BCD suy ra: AHBC=HBCD⇔AHHB=BCCD (1)

Lại có CE là đường phân giác trong ∆BCD nên BCCD=EBED (2)

Từ (1) và (2) suy ra AHHB=EBED.

Do đó AH.ED = HB.EB (đpcm)

c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta được:

AB² + AD² = BC²

BC=AB2+AD2=82+62=10 (cm).

Ta có BCCD=EBED⇔BCAB=EBED

⇔BCAB+BC=EBED+EB

⇔BCAB+BC=EBED+EB=EBBD

⇔68+6=EB10

⇔EB=6 . 108+6=307 (cm)

Khi đó BCAB=EBED⇔68=307ED

⇔ED=307 . 86=407 (cm).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ADH vuông tại H, ta được:

AH² + DH² = AD²

DH=AD2−AH2=62−4,82=3,6 (cm).

Do đó, EH = ED – DH = 407−3,6=7435 (cm).

Mặt khác, từ câu a: ∆AHB ∆BCD suy ra: AHBC=ABBD

⇔AH=AB . BCBD=8 . 610=4,8 (cm).

Do đó SAECH=2 . 12AH . HE=4,8 . 7435≈10,15 (cm2)

Vậy diện tích tứ giác AECH là 10,15 cm².

Chứng minh với mọi m, n ta có: m^2+n^2+1/4>=2mn+m-n .