Chứng minh tứ giác A D B E là hình thoi và M F 2 = M B ⋅ M C .

⦁ Xét ΔODE cân tại O có OM là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến của tam giác.

Do đó M là trung điểm của DE.

Xét tứ giác ADBE có M là trung điểm của hai đường chéo DE,AB nên ADBE là hình bình hành.

Lại có AB⊥DE nên tứ giác ADBE là hình thoi.

⦁ Xét đường tròn (O) có ADC^=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên AD⊥DC.

Do tứ giác ADBE là hình thoi nên AD//BE, suy ra BE⊥DC.

Mà BF⊥DC suy ra ba điểm E,B,F thẳng hàng.

Xét ΔDEF vuông tại F có FM là trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nên MF=12DE=DM. (3)

Xét ΔADM và ΔDCM có: AMD^=DMC^=90∘ và DAM^=CDM^ (cùng phụ với ADM^)

Do đó (g.g). Suy ra DMCM=AMDM hay DM2=MA⋅MC.

Mà MA=MB (do M là trung điểm của AB), suy ra DM2=MB⋅MC (4)

Từ (3) và (4) suy raMF2=MB⋅MC.